什么是Functor

functor 就是可以执行map操作的对象，functor就像是附加了语义的表达式，可以用盒子进行比喻。functor 的定义可以这样理解：给出a映射到b的函数和装了a的盒子，结果会返回装了b的盒子。fmap 可以看作是一个接受一个function 和一个 functor 的函数，它把function 应用到 functor 的每一个元素（映射）。

-- Functor的定义
class Functor f where
    fmap :: (a -> b) -> f a -> f b

某个类型要能进行映射操作(map over)，就必须继承Functor基类，并实现其中的fmap函数。我们来看一下几种默认的Functor形态：

  1. 列表list，非常好理解，操作列表我们一般使用map函数，它其实就是fmap针对列表的一个具体实例，在list中它们是等价的。

    -- 作为functor 的定义：
    instance Functor [] where
        fmap = map

    -- 实例
    fmap (*2) [1,2,3]
    > [2,4,6]

  2. Maybe，它是haskell中使用很广泛的数据类型，它有 Just 值 和 Nothing 两种情况，分别用于表示成功和失败的情况。

    -- Maybe 的 functor 定义：
    instance Functor Maybe where
        fmap f (Just x) = Just (f x)
        fmap f Nothing = Nothing

    -- 实例
    fmap (*2) (Just 1)
    > Just 2

    fmap (*2) (Nothing)
    > Nothing

  3. IO，输入与输出，比如读取键盘输入，打印字符串等

    -- IO 的 Functor 定义
    instance Functor IO where
        fmap f action = do
              result <- action
              return (f result)

    -- 实例
    fmap ("hello! "++) getLine
    jeff -- 输入名字，打印时添加“hello”
    > "hello! jeff"

Functor的 (->) r 形态

(->) r 其实表示的是函数结合，也就是等价于 (.)

-- 下面两个定义是等价的，也就是 (->) r 形式下的 Functor 其实等价于 结合律
instance Functor ((->) r) where
    fmap f g = (\x -> f (g x))

instance Functor ((->) r) where
    fmap = (.)

-- 实例
fmap (*3) (+100) 1
> 303

(*3) . (+100)  $ 1
> 303

functor law

如果某个类型遵守这两个定律，那么它与其他Functor对于映射方面就具有相同的性质。

  1. fmap id = id
    如果我们对 functor 做 map id，那得到的新的 functor 应该要跟原来的一样

    fmap id (Just 3) 
    > Just 3
    id (Just 3) 
    > Just 3

  2. fmap (f . g) = fmap f . fmap g 也就是 functor 是能应用于函数结合的。

Applicative Functor

为什么需要 Applicative Functor，什么情况下使用它。从Functor定义我们知道，fmap函数只能映射单个盒子，但假设需要映射两个三个，甚至是更多的盒子呢？或者是要处理返回值是函数的盒子呢？而这就是Applicative Functor 要处理的情况。

Applicative Functor* 可以看作是Functor的增加版，从定义可知，它主要包括pure 和 <\>两个函数。

-- Applicative Functor 定义
class (Functor f) => Applicative f where
    pure :: a -> f a
    (<*>) :: f (a -> b) -> f a -> f b

  • pure :: a -> f a 意思就是把普通值放到默认的context(语义)下。比如如果是list，那么它代表的就是[ ] ，如果是Maybe，那么它就是 Just 值 / Nothing。

  • (<*>) 接受一个装有函数的 functor 跟另一个 functor, 非常类似于fmap，它就像加强版的 fmap。以applicative style 的方式来使用 applicative functors。像是 pure f <*> x <*> y <*> … 这个函数可以吃任意多的参数。

    -- 与fmap类型的对比，可以看出函数 a -> b 被装进了盒子 f 中
    (<*>) :: f (a -> b) -> f a -> f b
    fmap :: (a -> b) -> f a -> f b

    -- <*> 是左结合的，因此以下两个表达式是相等的
    pure (+) <*> Just 3 <*> Just 5 
    (pure (+) <*> Just 3) <*> Just 5。

  • (<$>) 是applicative functor 中另一个很常用的符号，它其实就是中缀版的fmap。因为结合fmap写applicative functor更加方便。

    (<$>) :: (Functor f) => (a -> b) -> f a -> f b
    f <$> x = fmap f x
    -- 用<*>实现相同的功能
    pure f <*> x = fmap f x

接着看一下几个默认的 applicative functor，继承Applicative，必须实现 pure 和 (<*>) 函数

  1. Maybe 类型

    -- Maybe 的 Applicative 定义：
    instance Applicative Maybe where
        pure = Just
        Nothing <*> _ = Nothing
        (Just f) <*> something = fmap f something

    -- 实例
    pure (+3) <*> Just 9
    > Just 12

    pure (+) <*> Just 3 <*> Just 5
    > Just 8

  2. 列表list 也是 applicative functor，从定义可以看出使用list的Applicative style完全可以实现 list comprehension 的功能。所以 Applicative style 对于 list 而言是取代某些类型的 list comprehension 的好方式。

    -- list 的定义
    instance Applicative [] where
        pure x = [x]
        fs <*> xs = [f x | f <- fs, x <- xs]

    -- 实例
    [(+3),(*2)] <*> [1,2]
    > [4,5,2,4]

    --下面表达式具有相同的功能
    (*) <$> [2,5,10] <*> [8,10,11] -- Applicative style
    [ x * y | x <- [2,5,10], y <- [8,10,11]] -- list comprehension
    > [16,20,22,40,50,55,80,100,110]

  3. IO ，下面的IO的实例，可以把 getLine 看做是一个去真实世界中拿取字串的盒子, 而 applicative functor 表达式会创造一个比较大的盒子，这个大盒子会派两个盒子去终端拿取字串，并把结果串接起来放进自己的盒子中。

    --IO 的 Applicative instance
    instance Applicative IO where
    	pure = return
    	a <*> b = do
    	    f <- a
    	    x <- b
    	    return (f x)

    -- 实例 将输入的两个字符串合并
    (++) <$> getLine <*> getLine
    aa
    bb
    > "aabb"

Applicative Functor 的 (->) r 形态

(->) r 形态定义

instance Applicative ((->) r) where
    pure x = (\_ -> x)
    f <*> g = \x -> f x (g x)
  • 用 pure 将一个值包成 applicative functor 的时候，他产生的结果永远都会是那个值
  • 将两个 applicative functor 喂给 <*> 可以产生一个新的 applicative functor

接着综合使用上面的知识，来看一下实际应用applicative的几种方式。相比起functor，applicative functor要更强大和灵活。

-- 左结合形式, 第一项必须为含有函数的functor,右边全部为functor
pure (\x y z -> x+ y +z) <*> Just 3 <*> Just 4 <*> Just 5
> Just 12
[(+3),(*2)] <*> [1,2]
> [4,5,2,4]

-- fmap(<$>) 形式,第一项为普通函数,右边都为functor
(+) <$> Just 1 <*> Just 2
> Just 3
(\x y z -> x + y +z) <$> [1,2] <*> [2,3] <*> [4,5]
> [7,8,8,9,8,9,9,10]

-- (<$>) (->) r 形式,全部为普通函数,用单个参数调用执行
(\x y z -> [x,y,z]) <$> (3+) <*> (*100) <*> (`div`2) $ 2
> [5,200,1]

Applicative Functor 辅助函数

  1. liftA2
    只是applicative的套用函数而已，当然还有3个参数的版本 liftA3，而 liftA 则等价于 fmap

    -- 与applicative 的等价形式
    liftA2 f a b = f <$> a <*> b

    -- 以下表达式功能一致
    liftA2 (:) (Just 3) (Just [4])
    (:) <$> Just 3 <*> Just [4]
    pure (:) <*> Just 3 <*> Just [4]

    > Just [3,4]

  2. sequenceA
    当套用在函数上时，sequenceA 接受装有一堆函数的list，并回传一个回传list的函数。当我们有一串函数，想要将相同输入都喂给它们并查看结果的时候，sequenceA非常好用。

    当使用在 I/O action 上的时候，sequenceA 跟 sequence 是等价的。他接受一串 I/O action 并回传一个 I/O action，这个 I/O action 会计算 list 中的每一个 I/O action，并把结果放在一个 list 中

    	-- 以下是两种实现sequenceA功能一致的函数
    sequenceA (x:xs) = (:) <$> x <*> sequenceA xs
    	sequenceA = foldr (liftA2 (:)) (pure [])
    	
    	sequenceA [Just 3, Just 2, Just 1]
    	> Just [3,2,1]
    	
    	-- 将list组合成所有可能的组合
    sequenceA [[1,2,3],[4,5,6]]
    	> [[1,4],[1,5],[1,6],[2,4],[2,5],[2,6],[3,4],[3,5],[3,6]]
    	
    	sequenceA [(>4),(<10),odd] 7
    	map (\f -> f 7) [(>4),(<10),odd]
    	> [True,True,True]
    	
    	-- and接受一串Bool，并在所有值都为True时才返回True
    	and $ sequenceA [(>4),(<10),odd] 7
    	and $ map (\f -> f 7) [(>4),(<10),odd]
    	> True