Haskell学习-monad

什么是Monad

Haskell是一门纯函数式的语言，纯函数的优点是安全可靠。函数输出完全取决于输入，不存在任何隐式依赖，它的存在如同数学公式般完美无缺。可是纯函数因为隔绝了外部环境，连最基本的输入输出都无法完成。而 Monad 就是 Haskell 给出的解决方案。但Monad 并不仅仅是 IO 操作的抽象，它更是多种类似操作之间共性的抽象。所以 Monad 解决的问题并不局限在 IO 上，像 Haskell 中的 Maybe 和 [] 都是 Monad。Haskell 中漂亮的错误处理方式， do 表示法和灵活的列表推导式 (list comprehension) 都算是 Monad 的贡献。

Monad 基本上是一种加强版的 Applicative Functor，正如 Applicative Functor 是 Functor 的加强版一样。所以在充分理解 Applicative Functor 的基础上，过渡到 Monad 其实是非常平滑的。

-- Monad的定义
class Monad m where
	return :: a -> m a
	(>>=) :: m a -> (a -> m b) -> m b
	(>>) :: m a -> m b -> m b
	x >> y = x >>= \_ -> y
	fail :: String -> m a
	fail msg = error msg

return 跟其他语言中的 return 是完全不一样的，它是一个把普通值包进一个 context 里面的函数，并不是结束函数执行的关键字。其实等价于Applicative中的 pure。
>> 忽略前面表达式的返回值，直接执行当前表达式。
>>= 接受一个 monadic value（也就是具有 context 的值，可以用装有普通值的盒子来比喻）并且把它喂给一个接受普通值的函数，并回传一个 monadic value。
=<< 和上面 >>= 功能一样，只是结合顺序相反。

Monad 的原理

函数之间要协作，就必须以各种形式交互连接。但如何隔离纯函数与副作用函数，同时又能让两类函数相互复用呢？

以 IO 操作为例子分析，为了充分隔离纯函数与 IO 函数，Haskell 中不能实现 IO Char -> Char 这样一种输入是 IO 类型返回值却是普通类型的函数。否则副作用函数就能很容易变身为纯函数了。事实上一旦参数中有 IO，返回值必有 IO，这就保证了充分隔离。

那如何让纯函数与 IO 函数相互复用呢？这就要靠 IO Monad 中定义的 return 和 >>= 这两个函数了。return （在 Haskell 中不是关键字，只是一个函数名）的作用是将某个类型为 A 的值 a 提升（装箱）为类型为 IO A 的值 Char -> IO Char 。有了这个函数后，纯函数就可以通过 return 变成返回值为 IO 带副作用的函数了。

有了提升而没有下降操作，怎么复合 putChar :: Char -> IO() 与 getChar :: IO Char 呢。 getChar 从 IO 读取一个字符， putChar 把字符写入 IO。但 getChar 返回的是 IO Char 类型，而 putChar 需要的是普通的 Char 类型，两者不匹配怎么办？ >>= 函数出马了！ >>= 的类型是

IO a -> (a -> IO b) -> IO b

这样 >>= 就可以连接 getChar 与 putChar ，把输入写到输出中

getChar >>= putChar

可以看到 >>= 操作实际上是类型下降（或拆箱）操作，同时执行下降操作的函数返回值也必须是 IO 类型。这样既充分隔离纯函数与副作用函数，又能让函数相互复用。通过 return 和 >>= 两个平行世界 (范畴) 就有了可控的交流通道。

do 表示法

Haskell的 do 表示法实际上是Monad的语法糖：它给我们提供了一种不使用 (>>=) 和匿名函数来写monadic代码的方式。去除do语法糖的过程就是把它转换为 (>>=) 和匿名函数。

do 表示法可以使用分号 ; 和大括号 { } 将语句分块；但一般会使用一个表达式一行的方式，不同的作用域用不同的缩进区分。

我们还是以IO 为例子，接受两次的键盘输入，然后将两次输入的字符串合并成一个字符串，最后屏幕打印输出。 >>= 会接受前面表达式的值；>> 则会忽略前面表达式的值；这里使用 return 实际它返回的仍然是IO String，因为Haskell会自动类型推导得出。monadic 的表达式代码如下：

(++) <$> getLine <*> getLine >>= print >> return "over"
111
222
> "111222"
> "over"

使用 do改写，明显更加清晰，和我们熟悉的命令式语言风格差不多。
<- 表示从monadic value中取出普通值，可以看成是拆开盒子取出所需要的值。

foo :: IO String  
foo = do  
    x <- getLine
    y <- getLine
    print (x ++ y)
    return "over"

do语法对应模式

do {e}             -> e
do {e; es}         -> e >> do {es}
do {let decls; es} -> let decls in do {es}
do {p <- e; es}    -> e >>= \p -> es

Monad 类型

来看一下几个默认的Monad类型，它们都必须实现 return,>>=,fail这几个函数。

Maybe
中间任何一步只要有Nothing，结果就提前返回Nothing。没有任何意外的情况才返回Just 值。

-- Maybe 的 Monad instance
instance Monad Maybe where
    return x = Just x
    Nothing >>= f = Nothing
    Just x >>= f  = f x
    fail _ = Nothing

-- 实例
Just 3 >>= (\x -> Nothing >>= (\y -> Just (show x ++ y)))
> Nothing

Just 3 >>= (\x -> Just "!" >>= (\y -> Just (show x ++ y)))
> Just "3!"

使用 do 表示法写成这样：

foo :: Maybe String
foo = do
    x <- Just 3
    y <- Just "!"
    Just (show x ++ y)

List

>>= 基本上就是接受一个有 context 的值，把他喂进一个只接受普通值的函数，并回传一个具有 context 的值。[] 其实等价于 Nothing。

当我们用 **>>=** 把一个 list 喂给这个函数，lambda 会映射每个元素，会计算出一串包含一堆 list 的 list，最后再把这些 list 压扁，得到一层的 list。这就是我们得到 列表 **list** 处理 Mondic value 的过程。

--list 的 Monad instance
instance Monad [] where
    return x = [x]
    xs >>= f = concat (map f xs)
    fail _ = []

-- 实例
[3,4,5] >>= \x -> [x,-x]
> [3,-3,4,-4,5,-5]

[1,2,3] >>= \x -> return (-x)
> [-1,-2,-3]

list comprehension 也不过是 Monad 的语法糖

[1,2] >>= \n -> ['a','b'] >>= \ch -> return (n,ch) -- Monad
[ (n,ch) | n <- [1,2], ch <- ['a','b'] ] -- list comprehension
> [(1,'a'),(1,'b'),(2,'a'),(2,'b')]

list comprehension 的过滤基本上跟 guard 是一致的。

[1..50] >>= (\x -> guard ('7' `elem` show x) >> return x)
> [7,17,27,37,47]

用 do 改写, 如果不写最后一行 return x，那整个 list 就会是包含一堆空 tuple 的 list。

sevensOnly :: [Int]
sevensOnly = do
    x <- [1..50]
    guard ('7' `elem` show x)
    return x

-- 对应的 list comprehension
[ x | x <- [1..50], '7' `elem` show x ]
> [7,17,27,37,47]

Either
在 Control.Monad.Error 里面有 Error的 Monad instance。

instance (Error e) => Monad (Either e) where
	return x = Right x
	Right x >>= f = f x
	Left err >>= f = Left err
	fail msg = Left (strMsg msg)

Right 3 >>= \x -> return (x + 100) :: Either String Int
> Right 103

Monad 规则

return a >>= f == f a
== 左边的表达式等价于右边的表达式。如果仅仅是把一个值包装到monad里面然后使用 (>>=) 调用的话，我们就没有必要使用 return ；这条规则对于我们的代码风格有着实际的指导意义：我们不应该写一些不必要的代码；这条规则保证了简短的写法和冗余的写法是等价的。
return 3 >>= (\x -> Just (x+100000)) -- 和直接函数调用没有区别
m >>= return == m
这一条规则对风格也有好处：如果在一系列的action块里面，如果最后一句就是需要返回的正确结果，那么就不需要使用 return 了；和第一条规则一样，这条规律也能帮助我们简化代码。
Just "move on up" >>= return -- 可以不需要 return

(m >>= f) >>= g == m >>= (\x -> f x >>= g)
当我们用 >>= 把一串 monadic function 串在一起，他们的先后顺序不应该影响结果。
而这不就是结合律吗？我们可以把那些子action提取出来组合成一个新action。
(<=<) 可以用来合成两个 monadic functions, 类似于普通函数结合(.)，而(>=>) 表示结合顺序相反。

(<=<) :: (Monad m) => (b -> m c) -> (a -> m b) -> (a -> m c)
f <=< g = (\x -> g x >>= f)

-- 普通函数结合(.)
let f = (+1) . (*100)
f 4
> 401

-- 合成monadic functions (<=<)
let g = (\x -> return (x+1)) <=< (\x -> return (x*100))
Just 4 >>= g
> Just 401

-- 也可以将 monadic 函数用foldr,id 和(.)合成 
let f = foldr (.) id [(+1),(*100),(+1)]
f 1
> 201

Monad 的 (->) r 形态

(->) r 不只是一个 functor 和 applicative functor，同时也是一个 monad。

每一个 monad 都是个 applicative functor，而每一个 applicative functor也都是一个 functor。尽管 moand 有 functor 跟 applicative functor 的性质，但他们不见得有 Functor 跟 Applicative 的 instance 定义。

instance Monad ((->) r) where
    return x = \_ -> x
    h >>= f = \w -> f (h w) w

Monad 辅助函数

带下划线函数等价于不带下划线的函数, 只是不返回值

>>= :: m a -> (a -> m b) -> m b
=<< :: (a -> m b) -> m a -> m b
form :: t a -> (a -> m b) -> m (t b)
form_ :: t a -> (a -> m b) -> m ()
mapM :: (a -> m b) -> t a -> m (t b)
mapM_ :: (a -> m b) -> t a -> m ()
filterM :: (a -> m Bool) -> [a] -> m [a]
foldM :: (b -> a -> m b) -> b -> t a -> m b
sequence :: t (m a) -> m (t a)
sequence_ :: t (m a) -> m ()
liftM :: (a1 -> r) -> m a1 -> m r
when :: Bool -> f () -> f ()
join :: m (m a) -> m a

其中在 IO 中经常用到的一些函数

sequence

sequence 接受一串 I/O action，并回传一个会依序执行他们的 I/O action。运算的结果是包在一个 I/O action 的一连串 I/O action 的运算结果。

main = do
    a <- getLine
    b <- getLine
    c <- getLine
    print [a,b,c]

其实可以写成

main = do
    rs <- sequence [getLine, getLine, getLine]
    print rs


一个常见的使用方式是我们将 **print** 或 **putStrLn** 之类的函数 map 到串列上。
sequence (map print [1,2,3,4,5])
1
2
3
4
5
[(),(),(),(),()]

mapM 跟 mapM_
由于对一个串列 map 一个回传 I/O action 的函数，然后再 sequence 这个动作太常用了。所以函式库中提供了 mapM 跟 mapM_。mapM 接受一个函数跟一个串列，将对串列用函数 map 然后 sequence 结果。mapM_ 也作同样的事，只是他把运算的结果丢掉而已。在我们不关心 I/O action 结果的情况下，mapM_ 是最常被使用的。
mapM print [1,2,3]
1
2
3
[(),(),()]

mapM_ print [1,2,3]
1
2
3
form 和 form_ 与 mapM 和 mapM_ 类似，不过只是把列表参数提前。

还有一些是在 monad 中定义，且等价于 functor 或 applicative functor 中所具有的函数。

liftM

liftM 跟 fmap 等价, 也有 liftM3，liftM4 跟 liftM5

liftM :: (Monad m) => (a -> b) -> m a -> m b
liftM f m = m >>= (\x -> return (f x))

liftM (*2) [1,2]
> [2,4]

ap 基本上就是 <*>，只是他限制在 Monad 上而不是 Applicative 上。

ap :: (Monad m) => m (a -> b) -> m a -> m b
ap mf m = do
    f <- mf
    x <- m
    return (f x)

ap [(*2)] [1,2,3]
> [2,4,6]

join

m >>= f 永远等价于 join (fmap f m) 这性质非常有用

join :: (Monad m) => m (m a) -> m a

join (Just (Just 9))
> Just 9

join [[1,2,3],[4,5,6]]  -- 对于 list 而言 join 不过就是 concat
> [1,2,3,4,5,6]

filterM

filterM，除了能做 filter 的动作，同时还能保有 monadic context。

filterM :: (Monad m) => (a -> m Bool) -> [a] -> m [a]

filterM (\x -> return (x > 2)) [1,2,3,4]
> [3,4]

foldM

foldl 的 monadic 的版本叫做 foldM

foldM :: (Monad m) => (a -> b -> m a) -> a -> [b] -> m a

foldM (\x y -> return (x + y)) 0 [1,2,3]
> 6

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